Indisciplinar a Geometria: O saber geométrico e a geometria como saber

Apresentação

Produzido para o Geometrias’13 e o dele decorrente Boletim da APROGED, este artigo tem por base as principais ideias desenvolvidas na minha investigação[1], sendo estes as plataformas apropriadas para as apresentar e discutir com quem se interessa e entusiasma pelos passados, presentes e futuros da geometria.

Por conseguinte, o principal móbil dessa investigação está ancorado num colocar em crise de concepções e práticas que parecem ter-se naturalizado no âmbito do ensino da geometria, onde se inscreve um vasto conjunto de categorizações e preceitos, de teor científico e técnico, inerentes a esta área do saber.

Indisciplinar a Geometria – descrição e problematização

As reflexões que se seguem procuram conjecturar sobre o porquê, o como e o para quê indisciplinar a geometria, na medida em que é, na escola, uma tecnologia disciplinar, decorrente do aparecimento da própria escola como instituição de regulação e controlo de pessoas. Um tipo de organização cujo aparelho imobiliza e faz compreender nos seus espaços-tempos os indivíduos que a integram, mantendo as suas vidas constantemente ocupadas.

A expressão Indisciplinar a Geometria parece aqui revelar uma certa aversão e insubordinação em relação a esta área curricular que ao longo dos tempos se travestiu de dogmas e axiomas, se doutrinou e traduziu em saber disciplinado. Todavia, pretende dar o mote para uma reflexão sobre a expropriação de significado a que o saber geométrico foi votado, tendo servido como simples instrumento abonatório de concepções e representações sociais.

Hoje, percebemos que estas representações se manifestaram na forma como as primeiras sociedades conhecidas se organizaram, ao adoptarem, por exemplo, o círculo ou a pirâmide como imagens estruturadoras das suas dinâmicas hierárquicas.

Por tal, importa ressalvar que o termo indisciplinar não surge aqui para, de alguma maneira, fazer sublevar a geometria, reconfigurando-a e fazendo dela um campo de rebeldia e desobediência; nem tampouco fazer a apologia da presença, do interesse ou da importância da geometria na escola. Até porque ela é efectivamente preponderante, e ainda que se tencione excluir a geometria dos desenhos curriculares enquanto área disciplinar esta tenderá a persistir sob outros moldes.

Trata-se, sobretudo, de fazer uma análise desta área do saber não a descategorizando por completo, mas evitando ficar limitado aos rótulos e significâncias de que foi alvo ao longo dos tempos e às quais também se prestou, fazendo delas o seu alicerce e aparentemente tirando partido disso para se legitimar.

O saber geométrico e a geometria como saber – clarificação

Como sugerido em epígrafe, procuro aqui tornar claro, através das suas definições e âmbitos, as relações de paridade que se estabelecem entre as expressões o saber geométrico e a geometria como saber. Expressões que constituem e dizem respeito a áreas que permitem levar a cabo um processo que, de certa forma, procura indisciplinar a geometria.

Parto, então, do princípio de que o saber geométrico tem sido segregado, representado e distribuído nas escolas de forma disciplinada, nos espaços-tempos do que considero ser a geometria como saber, que é a representação da geometria presente em quaisquer áreas curriculares disciplinares. Neste sentido, as reflexões desenvolvidas enquadram-se no seio destas duas áreas, bem como no que existe ou pode existir em seu redor e que com elas se relacionem.

Por conseguinte, pode entender-se por saber geométrico a área na qual se agrupa todo o tipo de manifestações e experiências desta natureza que ocorram no decurso das nossas vidas. Assim, admitindo que tudo quanto nos rodeia reproduz ou traduz princípios geométricos, somos levados a pensar que ao longo da nossa existência enquanto espécie fomos tendo deles consciência. Equivale a isso dizer que todo o indivíduo é possuidor, num dado momento, ao mesmo tempo que o vai construindo, de um saber geométrico.

Deste modo, o saber geométrico desenvolve-se mantendo uma relação directa com o encadeamento das experiências acumuladas ao longo da existência de cada indivíduo. Pois quase todas, senão todas as coisas que nos envolvem, porque impregnadas de valor geométrico, são passíveis de representar ou expressar princípios da geometria.

«Colocaria, Platão, já estas questões? O Ménon fez reconstruir por um ignorante, de quem se diz que se lembra disso, uma sequência demonstrativa respeitante à diagonal do quadrado. A favor da cadeia das razões geométricas, a comunicação restabelece-se com um mundo esquecido.

(…)

Uma demonstração mais contemporânea do mesmo teorema encontrará a existência de uma matemática arcaica subjacente, (…)» (Serres, 1997: 16).

Podemos, com base na reflexão do excerto transcrito, dizer que independentemente da nossa cultura de origem, sejam quais forem as diferenças que nos distinguem e fazem de nós pessoas únicas, é certo que todos conseguimos argumentar e demonstrar em substância, ainda que de modo diferente, a descrição gráfica ou algorítmica da diagonal de um quadrado.

Assim, o desenho de um quadrado realizado sem o recurso a material de apoio aos traçados é simultaneamente susceptível de um sentido puramente rigoroso. Porque, quando se desenha uma figura com essas características e nessas condições, não se pretende apresentar o quadrado em si mas evocar através da sua representação a forma ideal de quadrado.

Significa então dizer que qualquer demonstração desta natureza, rigorosa ou não, manual ou electrónica, se baseia em ideais geométricos arcaicos que inevitavelmente lhe são próprios e estão subjacentes. Isto é, um quadrado irregularmente desenhado, de forma tremida, não deixa de ser um quadrado simultaneamente sensível e puramente objectivo.

A geometria é uma linguagem enraizada na nossa cultura, faz parte de nós, está presente nos nossos quotidianos e traduz a forma como nos relacionamos com os espaços e os objectos. Urge, portanto, problematizar a geometria no sentido de lhe pensar possibilidades e abordagens alternativas às que continuam actualmente a ser realizadas na escola.

Geometria… uma diagnose

Para melhor fazer entender como a geometria se apresentou e fez representar ao longo dos tempos, é a seguir apresentado um inventário da geometria a partir de alguns aspectos de carácter ontológico que lhe são intrínsecos ou podem estar subjacentes. Assim, através de uma sua genealogia e arqueologia, por analogia às significâncias que estas duas áreas acarretam, é produzida uma diagnose com base nas noções e convenções da geometria, possibilitando empreender o desenho de uma trama de conexões de descendência e procedência da geometria.

Sob o ponto de vista da genealogia, porque a partir de um determinado período da história é possível desenvolver a ideia de que os sistemas de representação gráfica rigorosa[2] se terão convertido em sistemas privilegiados de representação do ideal de sociedade, ou do próprio sistema de sociedade a que diz respeito e do qual floresce. Considerando que emergiram sob a alçada de determinadas circunstâncias sociais e motivações de natureza epistemológica, filosófica e científica.

«Eles [os Gregos] inventaram o representar.

Primeiro, com a pirâmide, um sistema de níveis, o modelo reduzido, depois um gráfico plano. A representação, eis o próprio milagre: admirar, a partir dum ponto de mira, o mundo-espectáculo ou teatro. Sentemo-nos em círculo em volta dos palcos.

Daí as questões condicionais: que ver, quem vê, de que sítio?» (Serres, 1997: 111).

Michel Serres, em “As Origens da Geometria”, propõe vários pontos genealógicos para a geometria, desenvolvendo assim a ideia da impossibilidade de lhe determinar uma só origem. Porém, neste enquadramento teórico, a génese da geometria é tomada na perspectiva, a partir da qual é iniciada uma inventariação e análise mais ou menos cronológica dos sistemas de representação gráfica rigorosa.

Sob o ponto de vista da arqueologia, no sentido em que são realizadas análises e interpretações da anatomia dos sistemas de representação gráfica rigorosa. Isto, por se apresentarem como reflexo dos processos de filtragem pelos quais ao longo dos tempos a geometria passou e que, com o aparecimento da escola como tecnologia, a transformaram em saber disciplinar.

Com efeito, é do conhecimento geral que muitas culturas e civilizações recorreram, no passado, a representações geométricas de carácter iconográfico (plantas) e ortográfico (alçados), como são os casos das representações rupestres do Paleolítico, a cerâmica da Mesopotâmia, os hieróglifos do antigo Egipto, entre outros. Todavia, parte-se da observância dos fundamentos de cada um dos sistemas de representação gráfica rigorosa até agora conhecidos, dado que são estes que circunscrevem o que entender por geometria, quer dentro quer fora da escola. Pois importa pensar como, ao longo dos tempos, se foram instituindo como verdadeiros modelos de projecção, concepção e representação das sociedades.

Adopta-se, então, a perspectiva, metodicamente teorizada pelo arquitecto renascentista italiano Filippo Brunelleschi (1377-1446), como o primeiro destes sistemas a ter sido posto ao serviço de uma determinada forma de pensar e organizar a sociedade. Sistema cuja representação se estabelece no plano para, portanto, planear e/ou demonstrar através do denominado perspectógrafo; que é o desenho composto pelos traçados que descrevem a distância do ponto de observação em relação ao plano de terra (vulgarmente conhecida por altura do observador), e a distância do ponto de observação em relação ao plano do quadro (o plano onde se vislumbra a perspectiva). O perspectógrafo assume-se, assim, como o aparelho que reproduz e concorre com o sistema óptico humano, estabelecendo a forma como, quem e de onde ver e interpretar o meio envolvente.

Sendo difícil de estabelecer a génese de captação e apropriação efectiva da realidade através de instrumentos que reproduzissem a nossa forma de ver, é aqui considerado como ponto de viragem o aparecimento das tavoletta – dispositivos ópticos utilizados para atestar as teorias sobre a perspectiva. Nas imagens 1 e 2 é possível ver ilustrações daquele que é considerado o primeiro destes mecanismos[3], que mais tarde culminaram na câmara escura e no advento da fotografia.

1. Ilustração de funcionamento da 1.ª tavoletta.

2. Ilustração de Philippe Comar, da vista proporcionada pela 1.ª tavoletta.

Consequência da perspectiva se ter tornado num sistema de representação que dava origem a desenhos ambíguos, confusos e de pouca utilidade, é desenvolvida a perspectiva axonométrica, «(…) cuja designação inicial era “perspectiva militar” (…)» (Costa, 1998: 5). Designação que se deve ao facto de ter sido primeiramente empregue na obtenção de panorâmicas dos campos de batalha em campanhas militares, permitindo ao mesmo tempo planificar, organizar e dispor tropas e respectivos equipamentos no espaço. Apresenta-se, assim, como um sistema de projecção não focalizado que «(…) mantém invariável na profundidade as qualidades métricas, favorecendo a percepção global e parcial dos componentes.» (Murtinho, 1998: 16).

Conhece-se ainda o sistema de planos cotados, decorrente de representações iconográficas de carácter cartográfico, que se apresenta como o paradigma de uma representação capaz de se sobrepor e aplicar à realidade, à escala um por um. Por conseguinte, é um tipo de representação que permite a identificação e leitura dos relevos, sendo «(…) especialmente vocacionado para a representação técnica e estudo de superfícies topográficas.» (Aguilar, 2000: 88). Ou seja, no reconhecimento de terrenos com vista à construção de rodovias, linhas férreas, praças, entre outras estruturas.

Partilhando alguns aforismos com os planos cotados são também conhecidos os sistemas de dupla, tripla ou múltipla projecção ortogonal, teorizados em primeira mão por Gaspard Monge (1746-1818), num contexto de crise e inovações tecnológicas consequentes da Revolução Industrial (segunda metade do século XVIII) e da Revolução Francesa (última década do século XVIII). Contudo, outros já os haviam desenvolvido, nomeadamente Albrecht Dürer (1471-1528) e Abraham Bosse (1602/4-1676)[4], este último, «(…) um exemplo curioso de representação descritiva, mais de um século antes de Gaspard Monge e da sua Geometria Descritiva.» (Gonçalves, 1999: 3).

Sistemas que por partilharem os mesmos princípios tomo a opção de não os singularizar, pois baseiam-se em representações de carácter iconográfico e ortográfico, respectivamente, de plantas e alçados, quer sejam em vista e/ou em corte[5]. Formas de ver e organizar os espaços que preconizaram o desenvolvimento da imagiologia na medicina.

Importa então realçar que estes sistemas impõem que «(…) devemos considerar o observador localizado no infinito.» (Aguilar, 2000: 89), como se não existisse, porque localizado num espaço indefinido. Esta concepção denuncia o cunho positivista[6] destes sistemas, pois o observador é desconsiderado em comparação com o que acontece na representação em perspectiva. Esta, de carácter humanista[7], confere ao sujeito observador um papel fundamental na organização e representação dos objectos e dos espaços, ainda que o sujeite a olhar sob um ponto de vista único.

Todavia, são conhecidos casos de sociedades e culturas que não aderiram, total ou parcialmente, aos modelos hegemónicos de representação que foram vigorando. Por tal, tomem-se os casos de França e de Inglaterra que, por razões históricas, políticas, geográficas, culturais, se nos apresentam como exemplos de adesão não generalizada. Reflexo disso são os casos opostos da organização dos espaços nos jardins francês e inglês – o francês, de organização ortogonal, simétrica e extremamente elaborada, e o inglês, não menos elaborado, mas de carácter orgânico e assimétrico.

Podemos mesmo tomar o jardim da Fundação de Serralves como exemplo de influência e coexistência de ambas as tipologias, consequência de, em 1932, Jacques Gréber (1882-1962), arquitecto paisagista francês, ter sido incumbido de idealizar um novo jardim para a residência particular de Carlos Alberto Cabral, a actual Casa de Serralves.

Movido pelo espírito Art Déco, é inspirado pelo arquétipo barroco de jardim francês dos séculos XVI e XVII, conjugando-o com o jardim de estilo inglês já existente na propriedade. Por conseguinte, de composição simétrica e rectilínea, o jardim francês descreve um eixo com uma orientação sensivelmente norte-sul, que intersecta o jardim inglês tomando-o como parte da sua organização. O jardim inglês, de inspiração vitoriana, está integrado no relevo que o terreno proporciona, é orgânico, ornamental e dominado por uma atmosfera recatada.

Observem-se, por tal, as imagens 3, 4 e 5.

3. Jardim francês e Casa de Serralves.

A – Museu de Arte Contemporânea.

B – Jardim francês.

C – Jardim inglês.

4. Planta do complexo da Fundação de Serralves.

5. Lago e envolvente do jardim inglês.

Estabelecida uma génese e produzida uma arqueologia da geometria a partir da análise transversal das anatomias de quatro sistemas de representação gráfica rigorosa, importa referir que apenas se faz referência aos principais, visto que existem outros que se caracterizam por lhes serem decorrentes ou híbridos.

Em síntese, por se basearem na transformação e representação dos objectos e dos espaços, estes principais sistemas são eles próprios lugares subsidiários da teatralização e determinação de quem vê, de onde vê e o que vê.

Considerações finais…

As considerações a seguir enunciadas não são finais nem tampouco absolutas, sob pena de serem interpretadas como ideias fixas, cristalizadas, prescritivas. É um espaço dedicado a lançar um fim a esta apresentação, não apresentando novas categorizações nem oferecendo soluções ou conclusões.

É o produto de uma investigação que foi e tem sido motivada pela procura de todo um conjunto de questões, relacionadas com a geometria, que parcialmente desconhecia ou ignorava por completo. Da procura, importa referir que resultou na composição de um assunto sobre o qual posso agora continuar a discutir e a reflectir.

Mostra-se assim evidente que a geometria, pela sua natureza e virtudes, foi tomada de assalto e disciplinada por receio de que o seu saber se lhe sobrepusesse e corrompesse a demanda de universal que se lhe quis induzir. Contudo, o saber geométrico é entendido neste enquadramento teórico como a antecâmara da geometria, um devir desta, é o saber que cada um de nós incorpora e que permite à geometria estar em permanente potência. A geometria só ainda não tomou outros caminhos que não os que se lhe conhecem, porque, na escola e fora dela, nos fizemos mais utilizadores da geometria do que utilizadores-pensadores de geometria.

Relativamente à questão da condição e localização da geometria na escola, importa reter que para evitar entendimentos e construções automáticas do seu conhecimento é conveniente que esta não seja encarada como simples mecanização de procedimentos e fórmulas.

É necessário que a abordagem à geometria não negligencie o saber incorporado pelo aluno, considerando-o e mantendo-o em permanente contextualização. Evitando que este se configure na imagem de simples receptor de um certo tipo de saber, bem como num executor de determinadas formas de agir. Isto é, impedir que o aluno se torne num instrumento ao serviço do professor que, com alguma frequência, o encara apenas como combustível necessário ao funcionamento da engrenagem escolar.

Por conseguinte, torna-se indispensável reflectir e problematizar a forma como actualmente a prática lectiva pode ser encarada, assente nos pressupostos do “Processo de Bolonha”, cujo objectivo principal, mais do que o professor poder ensinar, é o aluno conseguir aprender. Deste modo, o ensino-aprendizagem é visto como uma forma privilegiada de dar, ao aluno, o espaço necessário à investigação, à possibilidade da descoberta autónoma e à construção pessoal do seu conhecimento.

A geometria promove e permite formas dos alunos se relacionarem com os objectos e os espaços, de maneira a melhor e com mais propriedade os visualizarem, localizarem, compreenderem, editarem. Processos que ocorrem de forma singular em cada um de nós, partindo-se, como é certo, do princípio de que todas as pessoas são dotadas de uma visualidade que lhes é própria e única, determinada por factores de ordem física, mental, social, cultural. A distância, por exemplo, que existe entre os olhos de cada pessoa não é a mesma, logo as imagens que se produzem nos seus cérebros não são inevitavelmente iguais.

Os cegos possibilitam-nos perceber que também eles cultivam uma visualidade. Invoque-se, com efeito, a cena do filme “J.L.G. por J.L.G.” (1994), de Jean-Luc Godard, em que uma cega de nascença entra num espaço e através da sua acústica consegue estimar as dimensões desse mesmo espaço. Tal como conseguiu também apreender a noção universal de diagonal do cubo, quando responde com coerência à questão sobre que tipo de recta se obtém ao unir dois vértices opostos de um poliedro deste tipo.

Envolta por paradigmas emergentes em contínua efervescência, problematizar os motivos que incitam à questão das circunstâncias da geometria nos currículos, pode revelar-se vantajoso para que a geometria adopte outros posicionamentos que a ajustem e fundamentem, podendo vir a ser-lhe restituído um certo, embora esquecido, carácter poético que se lhe pode reconhecer.

Todavia, a geometria como saber, ao conceber o aluno como aprendiz de um qualquer procedimento geométrico ou sistema de representação gráfica rigorosa, com o objectivo de no futuro ser capaz de desempenhar um dado ofício, e não como uma pessoa com interesses particulares, invalida o clima de libertação interior que uma geometria intuída pode propiciar.

A geometria é uma área do saber que se presta e convida à contemplação, promovendo a expressão livre do indivíduo, o que nos leva a pensar que com as nossas concepções e atitudes em relação à geometria, talvez estejamos a negligenciar ou a impossibilitar o aparecimento de outras geometrias.

Referências

AGUILAR, Leonildo Teixeira de (1997) – Alguns Conceitos Geométricos. Lisboa: SPB Editores, 2000.

SERRES, Michel (1993) – As Origens da Geometria. Lisboa: Terramar, 1997.

COSTA, Manuel Couceiro da (1997) – “O futuro da geometria descritiva”, in Boletim da APROGED, nº 7, pp. 3-14.

GODARD, Jean-Luc – J.L.G. por J.L.G. [62′]. França: Gaumont, 1994.

GONÇALVES, Joaquim Luís (1999) – “A cavaleira dois séculos antes…”, in Boletim da APROGED, nº 9, pp. 3-7.

MURTINHO, Vítor (1998) – “Geometria e desígnio”, in Boletim da APROGED, nº 7, pp. 15-19.


[1] Investigação pontuada pela dissertação Indisciplinar a Geometria: O saber geométrico e a geometria como saber (2012), cujo conteúdo se configura sob a forma de um ensaio sobre a actual condição da geometria na escola. Ensaio que se desenvolve sob a perspectiva de que as circunstâncias que determinam a forma como a geometria se situa na escola e fora dela, resultam desta ter sido gradualmente submetida a processos de universalização que a filtraram, polinizaram e disciplinaram. Isto, para que pudesse ser apresentada e distribuída às pessoas, na proporção estritamente necessária à formação de quadros técnicos, indispensáveis à concretização de determinados ideais de sociedade.

[2] Entenda-se por sistemas de representação gráfica rigorosa, pelo menos aqueles que até aos dias de hoje se conhecem e reconhecem enquanto tal, designadamente, o sistema de perspectiva central (ou de projecção cónica), o sistema de perspectiva axonométrica, o sistema de projecção de planos cotados e o sistema de dupla projecção ortogonal (ou geometria mongeana).

[3] No ano de 1413, Filippo Brunelleschi ensaia em Florença, na Piazza San Giovanni, a 1.ª tavoletta, através da qual demonstra publicamente a sua descoberta que consiste num dispositivo óptico que combina dois espelhos furados, cujos furos se alinham sob o ponto de observação (a porta da catedral de Santa Maria del Fiore) e o objecto a observar (o Battisterio de San Giovanni).

[4] Não há certeza relativamente ao ano do seu nascimento, pois há documentos que dizem ter sido em 1602 e outros em 1604.

[5] As diferenças entre eles são a quantidade de vistas que permitem produzir. Na dupla e tripla projecção ortogonal são, respectivamente, duas e três vistas; e, na múltipla projecção ortogonal, são até um máximo de seis. Esta última possibilita representações exclusivamente no espaço do primeiro triedro, quando na dupla e tripla projecção ortogonal é possibilitado representar, respectivamente, nos espaços dos quatro diedros e nos espaços dos oito triedros.

[6] Diz respeito ao positivismo filosófico de Auguste Comte (1798-1857), que fazia a apologia da razão, defendendo que só existe e é inteligível o que a observação e a experiência podem verificar.

[7] Relativo à concepção de humanismo renascentista, desenvolvida no seio da elite instruída e culta, que sustentava o retorno às antigas artes e letras e colocava o homem no centro das suas manifestações.

Ano 2013
Tipo Outros
Publicação Boletim da APROGED - Geometrias '13, 30
Páginas 44-50
Editora APROGED - Associação dos Professores de Desenho e Geometria Descritiva
Local Porto, Março de 2013
ISBN / ISSN Depósito Legal 186158/02
Idioma Português
Link Ver Link